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第8講 路徑積分例題、Sohotsky (or Plemelj) 公式
課程影音
L8A
L8A
路徑積分例題：計算1/((2-x)(x^2＋4))在R上的主值積分
0:00 Example: Principal value of the integral of 1/((2-x)(x^2＋4)) on R
1:08 Choose contours 選擇適當路徑(兩種選擇)
以下考慮第一條路徑
3:11 Find the poles of the integrand 求出被積函數的極點
4:14 Calculate the residues at poles 計算留數
7:20 Compute the contour integral by applying the residue theorem
利用留數定理計算路徑積分(第一種路徑)
利用留數定理計算路徑積分(第一種路徑)
9:38 Estimate the contour integral on the circular arcs when R
tends to infinity and epsilon tends to 0 估計圓弧上的路徑積分
tends to infinity and epsilon tends to 0 估計圓弧上的路徑積分
13:17 Let R tend to infinity and epsilon tend to 0 令R趨近於無限大、epsilon趨近於0
以下考慮第二條路徑
14:35 Compute the contour integral along another contour 考慮另一條路徑
16:52 Estimate the contour integral on the circular arc when epsilon
tends to 0 估計圓弧上的路徑積分
tends to 0 估計圓弧上的路徑積分
20:24 Let R tend to infinity and epsilon tend to 0 令R趨近於無限大、epsilon趨近於0
22:03 Different Contours Give the Same Answer 不同的路徑都可以算出一樣的答案
L8B
Sohotsky (or Plemelj) 公式
0:00 Sohotsky (or Plemelj) Formulas
15:00 Proof for f holomorphic on C and inside C 證明 (f在C以及C以內是解析的情形)
L8C
Sohotsky (or Plemelj) 公式 (續)
0:00 Proof for f holomorphic on C and inside C (cont.) 證明
(f在C以及C以內是解析的情形) (續)
(f在C以及C以內是解析的情形) (續)
10:06 Proof for f holomorphic near the point z_0 證明
(f在點z_0附近解析的情形)
(f在點z_0附近解析的情形)
L8D
路徑積分例題：計算sin(x)/x在R上的積分
0:00 Example: Integral of sin(x)/x on R
1:29 Choose an appropriate integrand 選擇適合的被積函數
(選擇(exp(iz)-1)/z比sin(z)/z更適合)
(選擇(exp(iz)-1)/z比sin(z)/z更適合)
6:07 Choose a semicircle contour 選擇半圓路徑
11:37 Estimation Involving Lebesgue Dominated Convergence Theorem (LDCT)
一項牽涉到Lebesgue控制收斂定理的估計
一項牽涉到Lebesgue控制收斂定理的估計
15:54 Choose a triangular contour instead 改選擇三角形路徑
19:19 Estimation Without LDCT 不用LDCT的估計
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